На сайті 11893 реферати!

Усе доступно безкоштовно, тому ми не платимо винагороди за додавання.
Авторські права на реферати належать їх авторам.

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

Реферати > Математика > Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

Якщо функція у = f (х) диференційовна в точці х, то абсолютна по­хибка формули (7) наближено дорівнює абсолютній величині ди­ференціала:

Відносна похибка формули (7) визначається за формулою

Приклади

1. Знайти диференціал функції у= ln sin 2х: а) при довільних значеннях х i x; б) при х = ; в) при х = і x = 0,1.

О а) Користуючись формулою (4), знаходимо

dy = (ln sin 2x)' dx = 2 ctg 2xdx;

б) в)

2. Порівняти приріст y і диференціал dy функції у = х3 + 2x2.

О Знаходимо приріст і диференціал функції:

* y= f (х+x)-f (x)= (х +x)3 + 2 (х + x)2 - (х3 + 2x2) =

=(Зx2 + 4x)x + (3х + 2 +x)x2;

dy = f' (x)x = (3x2 + 4x) dx.

Величини y і x еквівалентні при x0 і х 0, оскільки dx = x і

Абсолютна похибка |y - dy| = |3х + 2 + x| x2 при x0 є нескінченно малою другого порядку в порівнянні з x, тому що

якщо х- і є нескінченною малою більш високого порядку, ніж другий, коли x0 і х.

3. Довести, що при малих значеннях Дл: і х ;> 0 справедлива формула

О Розглянемо функцію f (х) = x (0; +). Маємо I шукана рівність випливає з формули (6). Зокрема, якщо х = 1, то


НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Основною задачею диференціального числення є знаходження похідної f'(х) заданої функції f(х). Одне з можливих фізичних трак­тувань цієї задачі — визначення швидкості руху за функцією, яка задає пройдений шлях за час руху. З практичної точки зору природ­ною є обернена задача, а саме, визначення пройденого шляху за відо­мою швидкістю руху як функцією часу. Більш формально, остання задача є знаходженням функції f(х) за відомою її похідною f (х). Розв'язується ця задача за допомогою невизначеного інтеграла.

1.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

Функція F (х) називається первісною функції f (х) на проміжку , якщо F (х) диференційовна на і F' (х) = f (х), х .

Наприклад: 1) первісною функції f(x) = x2, xR є функція F(x)= (справді, F'(x) = xR); очевидно, що первісними будуть також функції F (х) = , F(x) = і взагалі F (x) =+С, де С — довільна стала, оскільки F' (х) = x;

2) функція f(х) = cos х, х R має первісну функцію F (х) = sin x + С, aбо

F' (х) = (sin х + С)' = cos х, х R.

Розглянуті приклади показують, що задача знаходження первіс­ної розв'язується неоднозначно. Інакше кажучи, якщо для функції f(х) існує первісна F(х), то ця первісна не одна. Виникає запитання: як знайти всі первісні даної функції, якщо відома хоча б одна з них? Відповідь дає така теорема.

Теорема. Якщо F (х) — первісна функції f (х) на проміжку , то всяка інша первісна функції f (х) на цьому самому проміжку має вигляд F (х) + С.

О Нехай Ф(х) — деяка інша, крім F (х), первісна функції f(х), тобто Ф'(х) = f(х), х . Маємо

а це означає (гл. 5, п. 5.2, прикл. 4), що Ф(х)-F (x) = С. Отже, Ф(х)=Р(х)+С. •

З цієї теореми випливає, що множина функцій F(х)+С, де F(х) — одна з первісних функції f(х), а С — довільна стала, визначає всю сукупність первісних заданої функції.

Якщо F(х) — первісна функції f(х) на проміжку і С — довільна стала, то вираз F(х) + С називається невизначеним інтег­ралом функції f(х) на цьому проміжку і позначається символом . Таким чином, символ означає множину всіх первісних функції f (х).

Знак , який ввів Лейбніц, називається інтегралом, f(x)dx — підінтегральним виразом, f(х) — підінтегральною функцією, х — змінною інтегрування. Отже, за означенням,

f(x)dx= F(x) + C, якщо F'(x) = f(x), x. (1)

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

З погляду геометрії невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою і утворюється зсу­вом однієї з них паралельно самій собі уздовж осі Оу (рис. 1). Щоб з цієї множини виділити певну інтегральну криву F(x), достатньо задати її значення F(х0) в якій-небудь точці х0 .

З рівностей (1) випливають такі властивості невизначеного інтег­рала.

1°. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

((х) dx)' = (F (x) + С)' = F' (x) = f (х).

Інакше кажучи, знаки похідної і невизначеного інтеграла взаєм­но знищуються. Це природно, бо операції диференціювання та ін­тегрування — взаємно обернені. Внаслідок цього правильність ви­конання операції інтегрування перевіряється диференціюванням. Наприклад,

Перейти на сторінку номер: 1  2  3 Версія для друкуВерсія для друку   Завантажити рефератЗавантажити реферат