На сайті 11892 реферати!

Усе доступно безкоштовно, тому ми не платимо винагороди за додавання.
Авторські права на реферати належать їх авторам.

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

Реферати > Математика > Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

2°. Невизначний Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

(х) = '(х) dx = (х) dx = F(х) + С.

3°. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

d((х) dx) - ((х) dx)' dx = f(х) dx.

4°. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

(x)dx=C(x)dx.

5°. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:

Властивості 4° і 5° перевіряються диференціюванням на основі властивості 1°. Властивість 5° справедлива для довільного скінчен­ного числа доданків.

6°. Якщо

і u = (х) — довільна функція, що має неперервну похідну, то

(u)du=F(u)+C. (2)

О Внаслідок інваріантності форми першого диференціала (гл. 5, п. 3.2) і властивості 2° маємо

dF (u)=F'(u) du=f(u) du;

Ця властивість (її називають інваріантністю формули інтегру­вання) дуже важлива. Вона означає, що та чи інша формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від то­го, чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. Таким чином, кількість інтегралів, які обчислюються (або, як кажуть, «беруться»), необмежено збільшується. Наприклад, оскільки .

Користуючись інваріантністю цієї формули, одержимо формулу де — довільна функція, що має неперервну похідну. Зокрема:

тобто

тобто

тобто

Природно, виникає запитання: чи для всякої функції існує невизначений інтеграл? Негативну відповідь на це запитання дає такий приклад: нехай

Покажемо, що функція f(x) на проміжку (- 1; 1) не має первісної. Припустимо протилежне. Нехай існує така функція F(х), що х ( - 1; 1): F'(х)=f(х). Тоді з теореми Лагранжа на відрізку [0; х], 0 < x < l, випливає, що

(F'+ (0) — права похідна функції F(х) в точці х = 0). Але F'+ (0) = F(0) = 0. Одержане протиріччя означає, що задана функція пер­вісної не має.

Цей приклад показує, що потрібна теорема, яка б гарантувала існування невизначеного інтеграла.

В п. 2.4 буде доведено, що всяка неперервна на проміжку функція має на цьому проміжку первісну. У зв'язку з цим надалі вважатимемо, що підінтегральна функція розглядається дише на тих проміжках, де вона неперервна.

Перейти на сторінку номер: 1  2  3 Версія для друкуВерсія для друку   Завантажити рефератЗавантажити реферат