Беспилотный летательный аппарат как работает дрон конструкция Беспилотного аппарата.

На сайті 11892 реферати!

Усе доступно безкоштовно, тому ми не платимо винагороди за додавання.
Авторські права на реферати належать їх авторам.

Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної

Реферати > Математика > Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної

1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв’язку.

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної має вигляд

(5.1)

Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ої степені.

Означення 5.1. Функція , визначена і

(5.2)

неперервнодиференційовна на називається розв’язком Д.Р. (5.1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (5.1) в

тотожність

Означення 5.2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, якщо воно визначає як функцію і вона являється розв’язком Д.Р.(5.1).

Означення 5.3. Рівняння , ,, визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в параметричній формі, якщо

Криві на ел., які відповідають розв’язкам, будемо називати

Задача Коші - задача знаходження розв’язків, які задовільняють умови .

Означення 5.4. Говорять, що задача Коші для Д.Р.(5.1) з початковими умовами має єдиний розв’язок, якшо через в достатньо малому околі її проходить стільки , скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному – не єдиний розв’язок.

Теорема 5.1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).

Якщо функція задовільняє наступним умовам:

а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т.;

б);

в);

то Д.Р.(1) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно диференційовний в околі т , задовільняючий умови і такий, що

► Без доведення ◄

Припустимо, що розв’язуючи Д.Р.(1) відносно , ми знайдемо дійсні розв’язки

(5.3)

де визначені в обл. так, що маємо Д.Р. першого порядку, розв’язаних відносно . Припустимо, що в точці , напрямок поля, визначений кожним Д.Р. (5.3), різний. Так що різних рівнянь не можуть дотикатися друг друга на .

Нехай кожне Д.Р. (5.3) на має загальний інтеграл

(5.4)

Означення 5.5. Сукупність інтегралів (5.4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. .

Інколи замвсть співвідношення (5.4) записують

(5.5)

Якщо поле на не задовільняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення хоча б двох функцій співпали, то відповідаючі Д.Р. дотикаються друг друга в точці . Тому крім Д.Р. (5.3), будуть ще склеєні . Всі вони будуть входити в (5.4) або (5.5).

В загальному випадку Д.Р. (5.1) не удається розв’язати відносно в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство в вигляді

(5.6)

яке називається загальним інтегралом Д.Р. (5.1).

Якщо сімейство задано в вигляді

(5.7)

то воно називається загальним розв’язком Д.Р. (5.1)

Зауважимо, що в (5.6) можуть входити і розв’язки Д.Р. виду (5.3), коли -комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм розв’язки треба виключати.

Сімейство , заданих в параметричному вигляді

(5.8)

будемо називати загальними розв’язками Д.Р. в параметричній формі.

Означення 5.6. Розв’язок Д.Р. (5.1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв’язок.

Означення 5.7. Розв’язок називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується єдинність розв’язку задачі Коші.

Аналогічно Д.Р., розв’язаним відносно , Д.Р. (5.1) може мати розв’язки, які являються ні частинними, ні особливими.

Аналіз частинних і особливих розв’язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (5.3) розв’язок буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (5.3).

Приклад 5.1.

(5.9)

З (5.9) маємо:

Тоді - загальний інтеграл.

або . Цей загальний інтеграл є накладенням сімейств двох (мал. 5.1).

Розв’язок задачі Коші для Д.Р. (5.9) в кожній точці площіни являється єдиним. В точці ми маємо два напрямки поля:; І через цю точку проходить два

, якщо (5.11)

і , якщо .

Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки. Особливих розв’язків немає.

2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок.

Припустимо, що Д.Р. (5.1) представлено в формі (5.3). При досліджені на особливий розв’язок рівнянь виду (5.3) ми прийшли до висновку, що ці розв’язки можливі на тих кривих, на яких являється необмеженою. Але в переході від Д.Р. (5.1) до рівнянь (5.3) є недоцільність при визначені особливих розв’язків, так як .

Перейти на сторінку номер: 1  2  3 Версія для друкуВерсія для друку   Завантажити рефератЗавантажити реферат