Широкий ассортимент оцинкованных снегозадержателей на крышу ищи по этой ссылке.

На сайті 11892 реферати!

Усе доступно безкоштовно, тому ми не платимо винагороди за додавання.
Авторські права на реферати належать їх авторам.

Дії з векторами

Реферати > Математика > Дії з векторами

Означення 5. Сумою двох векторів та називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора .

Наприклад, задані вектори та (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора та сполучили початок вектора з кінцем вектора (Мал. 6b).

а) b)

Мал.6

Суму кількох векторів , , … , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.

Зауваження. Різницю двох векторів та будують як суму вектора та вектора (-).

Наприклад,

Мал.7

Означення 6. Добутком вектора на число k називають вектор , колінеарний з вектором , що має довжину в k раз більшу, ніж та напрям такий самий, як , якщо k > 0 і протилежний до , якщо k < 0.

Означення 7. Скалярним добутком векторів та називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута j між ними. Скалярний добуток векторів та позначають × , або (,).

Отже, згідно з означенням:

× =

(1)

Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.

¬ Правило множення вектора на число.

Щоб помноживши вектор на число k, треба усі координати вектора помноживши на число k, тобто k =

­ Правило знаходження алгебраїчної суми векторів.

Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.

Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:

, ,

їх алгебраїчна сума знаходиться за формулою

=

® Знаходження скалярного добутку векторів та

Згідно з правилом множення матриць одержимо:

× =

(2)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат.

Якщо = , тоді кут між ними дорівнює нулю, і з формули (1) випливає, що .

Звідси одержуємо , або враховуючи формулу (2)

(3)

Із формули (1) маємо:

(4)

Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами та у вигляді:

(5)

Якщо ^ , тоді і одержимо × = 0 (6)

Приклад. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах = (2,1,0) та = (0,-2,1).

Розв’язування. За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах та (дивись Мал.8.)

Мал.8

Позначимо цей паралелограм АВСD ( та - довільні);

Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах та (довільні) будуть вектори та Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів та ;

= (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1)

= (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1)

Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо :

З рівності випливає, що , тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.