На сайті 11893 реферати!

Усе доступно безкоштовно, тому ми не платимо винагороди за додавання.
Авторські права на реферати належать їх авторам.

Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів

Реферати > Математика > Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів

1) числові значення моменту, що дорівнює ;

2) площина, у якій лежать сила і точка ;

3) напрям, в якому діє сила.

Всі ці три характеристики можна виразити за допомогою одного вектора , якщо 1) ; 2) ( - площина); 3) спрямуємо вектор так, щоб цей напрямок був деяким однозначним чином зв’язаний з напрямом сили (рис. 2.13 а,б). У ролі такого зв’язку

між напрямами виберемо “правило свердлика “: проведемо вектор так, щоб обертання головки свердлика збігалося з напрямом дії сили, а поступальний рух свердлика збігався з напрямом вектора . Тоді, у випадку, показаному на рис. 2.13б – донизу. Вектор є вектором моменту сили. Якщо ввести в розгляд вектор (рис.2.13), то, враховуючи, що

Рис. 2.13а Рис.2.13б

, матимемо числове значення вектора :

а напрямок його визначається за “правилом свердлика”. Вектор можна паралельно перенести в точку . Добуток можна трактувати як площу паралелограма, побудованого на векторах і .

Розглянемо впорядковану трійку векторів яка віднесена до спільного початку. Вектори утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора видно найкоротший поворот від вектора до вектора проти стрілки годинника. В противному випадку, якщо цей поворот видно за стрілкою годинника, то вектори утворюють ліву трійку.

Означення. Векторним добутком вектора на вектор

називається такий третій вектор , довжина якого чисельно

дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , перпендикулярний до площини цих векторів і спрямований так, що вектори утворюють праву трійку.

З означення випливає, що довжина вектора становить

.

Векторний добуток на позначається символом

або .

Отже, в розглянутому прикладі про момент сили можна записати: або , а напрямок вектора , якщо

поглянути на напрямки обертання головки свердлика, відповідає тому, який визначається означенням векторного добутку.

До поняття векторного добутку приводять багато інших задач фізики і техніки. Наприклад, зв’язок між кутовою швидкістю обертання, лінійною швидкістю і радіусом обертання теж дається векторним добутком .

З означення векторного добутку випливає, що він перетворюється в нуль тоді і тільки тоді, коли хоч би один з векторів дорівнює нулю, або якщо вектори колінеарні (тобто паралельні).

Умови колінеарності двох векторів і виглядає так:

і, зокрема, .

Умову колінеарності можна виразити і так: , де - числовий множник.

Розглянемо векторний добуток векторів, заданих координатами.


Користуючись означеннями векторного добутку, легко довести, що

Останні три рівності легко запам’ятати за схемою, зображеною на рис.2.14, рухаючись у напрямку, показаному стрілками. Якщо рухатись

Рис.2.14

у протилежному напрямку, то матимемо

.

Нехай .

Тоді

.

Враховуючи таблицю одиничних ортів, одержимо

.

Отже,

. (2.15)

Основні властивості векторного добутку.

10. (ця властивість доведена раніше).

20. .

Доведення цієї властивості випливає з рівності (2.15). Справді, в результаті перестановки множників у добутку 2-й і 3-й рядки визначника в (2.15) поміняються місцями, а це означає, що знак визначника зміниться.

30. і .

Ці рівності теж легко доводяться на основі рівності (2.15).

40.

Читачеві пропонується довести цю властивість самостійно.

Приклад . Знайти віддаль від точки до прямої,

що проходить через точку паралельно вектору .

Р о з в ’ я з о к. На векторах і побудуємо паралелограм (рис.2.15). Оскільки згідно з означенням векторного добутку площа паралелограма чисельно дорівнює модулю векторного добутку векторів і , то .

Отже,

.

Тому

.

Оскільки , то

Перейти на сторінку номер: 1  2  3 Версія для друкуВерсія для друку   Завантажити рефератЗавантажити реферат