На сайті 11893 реферати!

Усе доступно безкоштовно, тому ми не платимо винагороди за додавання.
Авторські права на реферати належать їх авторам.

Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів

Реферати > Математика > Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів

Але .

Тепер вже легко записати, чому дорівнює .

Рис.2.15

3. Векторно-скалярний (змішаний) добуток

трьох векторів

Коли мова йде про добуток трьох векторів і , можливі такі випадки:

Легко зрозуміти, що перший добуток є вектором, бо є скаляр, а добуток скаляра на вектор – вектор; у третьому випадку маємо векторний добуток , що множиться векторно на вектор , тобто зводиться до обчислення векторного добутку після того, як обчислено . У другому випадку справа зводиться до обчислення скалярного добутку після того, як обчислено .

З розглянутих трьох добутків змішаним є . Вивченням цього добутку і займемося.

Зрозуміло, що чисельно визначає площу паралелограма, побудованого на векторах і . Нехай . Тоді Чисельно . Але за означенням векторного добутку, а , бо вектор проектувався на вектор .

Отже чисельно можна вважати рівним об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах і із знаком “+” або “-” (рис .2.16). Об’єм, очевидно, буде додатним, якщо - гострий, а якщо цей кут тупий, то об’єм буде від’ємним.

Змішаний добуток, як правило, записують так: .

Змішаний добуток векторів, заданих координатами.

Нехай

.

.

Отже,

або

. (2.16)

Рис. 2.16

Висновок. Векторно-скалярний добуток трьох векторів заданих своїми проекціями, дорівнює визначнику третього порядку, складеному з цих проекцій.

З формули (2.16), користуючись тим, що при перестановці двох сусідніх рядків визначника його знак змінюється на протилежний і відповідно переставляються множники у мішаному добутку, вірна така рівність:

,

тобто кругова перестановка трьох множників векторно-скалярного добутку не змінює його величини.

Перестановка двох сусідніх множників змінює знак добутку. Із формули (2.16) випливає також, що .

Якщо три вектори компланарні (паралельні одній і тій же площині), тоді і, значить, - необхідна і достатня умова компланарності векторів і . Цей факт очевидний і з геометричних міркувань. Об’єм паралелепіпеда в цьому випадку дорівнює нулю.

Приклад 1. Знайти найкоротшу віддаль між двома прямими, якщо одна з них проходить через точку паралельно вектору , а друга проходить через точку паралельно вектору (рис.2.17).

Рис. 2.17

Р о з в ’ я з о к. Побудуємо вектор і проведемо через точку пряму паралельну , а через точку пряму , паралельну прямій . Тоді прямі і та і визначають собою дві паралельні площини. Віддаль між цими площинами і буде найкоротшою віддаллю між прямими і . На векторах , і будуємо паралелепіпед. Його об’єм

(куб. од.)

Знайдемо площу основи паралелепіпеда:

Тоді (кв. од).

Але. Звідси

(л. од.).

Приклад 2. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах , де і - одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

Р о з в ’ я з о к. Площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку векторів. Тому знайдемо

, бо

і .

Далі маємо . Оскільки і - одиничні взаємно перпендикулярні вектори, то .

Отже, (кв. од.).

Перейти на сторінку номер: 1  2  3 Версія для друкуВерсія для друку   Завантажити рефератЗавантажити реферат