На сайті 11893 реферати!

Усе доступно безкоштовно, тому ми не платимо винагороди за додавання.
Авторські права на реферати належать їх авторам.

Формула Ньютона – Лейбніца

Реферати > Математика > Формула Ньютона – Лейбніца

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = x² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію через S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при чому S΄(x)=ƒ(x), де y=ƒ(x) – підінтегральна функція, графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше кажучи, покажемо, що S (x) є первісною для ƒ(x).

Надамо змінній x приросту Δx, вважаючи ( для спрощення міркування), що Δx > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ΔS (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функція y=ƒ(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=ƒ(x ) є неперервною на відрізку[x,x+Δx], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,

m Δx < Δ S (x) < M Δx

Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=ƒ(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому

S(x) = F(x)+ C. (1)

При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0.

Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо

S(x) = F(x)-F(a). (2)

Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд

S(b) = F(b)-F(a).

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює

b

значенню ∫ ƒ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що

a

b

∫ ƒ(x) dx = F(b)-F(a). (3)

Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a.

Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:

(кв. од.);


П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою Ньютона – Лейбніца площу фігури,

обмеженої зверху синусоїдою y=sin x,

знизу – віссю Ох, а з боків – прямими

Розв’язання:

Запишемо символічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла: відрізки точкою с, то інтеграл на відрізку[a;b]дорівнює сумі інтегралів на відрізках[a;b] i [a;c].

де

Доведіть самостійно перші три властивості. Останню властивість доведено в курсі математичного аналізу.

Приклад 4. Обчислити

0

Розв’язання:

2

+

ò

)

(

2

Приклад 5. Обчислити

Розв’язання:



Приклад 6. Обчислити

Розв’яззати: